Алексей Юрьевич Заров родился 27 октября 1977 года в Москве.
В 2000 году с отличием окончил лечебный факультет Московской медицинской академии им. И. М. Сеченова, в 2002 году — клиническую ординатуру Национального медицинского исследовательского центра травматологии и ортопедии им. Н. Н. Приорова. Врач травматолог-ортопед.
В 2010 году окончил Московский государственный медико-стоматологический университет им. А. И. Евдокимова по специальности «экономика и управление на предприятии здравоохранения».
С 1996 года работал в отделении реанимации и интенсивной терапии Московской городской клинической больницы № 1, затем в Клинической больнице № 123 Федерального медико-биологического агентства России.
В Больнице Святителя Алексия трудится с 2009 года. В 2016 году назначен главным врачом Больницы Святителя Алексия, в 2017 году — директором учреждения. Труды в больнице совмещает с научно-педагогической деятельностью в Первом Московском государственном медицинском университете им. И. М. Сеченова.
С 2023 года является заведующим базовой кафедрой паллиативной медицины Ярославского государственного медицинского университета.